Ziel des Einstichproben t-Test in Excel

Der Einstichproben t-Test prüft, ob der Mittelwert eines beliebigen Merkmals (z.B. der Intelligenzquotient) einer Stichprobe gleich dem Mittelwert einer Grundgesamtheit ist. Ist die Stichprobe also in etwa so „schlau“ wie die Grundgesamtheit? In diesem Artikel zeige ich, wie man den Einstichproben t-Test in Excel rechnet und die Ergebnisse interpretiert.

Voraussetzungen des Einstichproben t-Test in Excel

  • $\sqrt{n}$ – Wurzel aus der Stichprobengröße. Ihr verwendet die =WURZEL-Funktion. In meinem Beispiel habe ich die Stichprobengröße in Feld E2 stehen, daher lautet meine Formel =WURZEL(E2) mit dem Ergebnis 7,21
  • $\overline{x}$ – Mittelwert der Stichprobe. Ihr verwendet die =MITTELWERT-Funktion über alle Zeilen. In meinem Beispiel =MITTELWERT(B2:B53) mit dem Ergebnis: 109,98.
  • $S$ – Standardabweichung der Stichprobe. Ihr verwendet die =STABW.S-Funktion über alle Zeilen. In meinem Beispiel =STABW.S(B2:B53) mit dem Ergebnis 13,26. Das S bei STABW.S steht für Stichprobe.
  • $\mu_0$ – Vermuteter Mittelwert bzw. Mittelwert der Grundgesamtheit. Der ist euch in der Regel gegeben bzw. auf den testet ihr. In meinem Beispiel ist er 105.
  • Nun habt die wesentlichen Komponenten und könnt euch ans rechnen machen. 

        \[ T = \sqrt{n}\frac{\overline{x}-\mu_0}{S} \]

     

        \[ T = 7,21\frac{109,98-105}{13,26} =2,709\]

     

    In Excel empfehle ich euch folgende kleine Hilfstabelle, in der ihr separat Zähler, Nenner und T ermitteln könnt:

     

    Der Signifikanztest

    Schließlich ist nun zu prüfen, ob der Unterschied auf Basis der berechneten t-Statistik signifikant ist. Hierzu existieren zwei Möglichkeiten. Die erste nutzt den p-Wert und die zweite den kritischen t-Wert.

    I. Möglichkeit  – der p-Wert

    Den p-Wert berechnet ihr mit der Excel-Formel =T.VERT.2S(ABS(t);df). Was passiert hier? Es wird zweiseitig geprüft, ob sich euer errechneter t-Wert (t) von einem kritischen t-Wert unterscheidet. Ihr verwendet die ABS-Funktion, um den absoluten t-Wert zu erhalten. Ihr rechnet also mit einem stets positiven Wert in der T.VERT.2S-Funktion. Zuletzt braucht ihr den Wert df. Das sind eure Freiheitsgrade (degrees of freedom). Die ergeben sich bei diesem Test stets aus der Anzahl-1. Hier sind das also 52-1=51.

    Eure Formel ist also dann:

    =T.VERT.2S(ABS(2,709);51)=0,00917.

    Der erhaltene Wert von 0,00917 ist euer p-Wert.

     

    II. Möglichkeit – der kritische t-Wert

    Die t-Statistik könnt ihr über die Funktion =T.INV.2S(Wahrsch;df) berechnen. Die Wahrscheinlichkeit ist auch hier die Verwerfungsgrenze und kann 0,05 sein oder auch mit 0,01 noch strenger sein. Für was auch immer ihr euch entscheidet, diese setzt ihr bei Wahrsch ein. Die Freiheitsgrade (df) nehmt ihr analog die Anzahl-1. In meinem Fall habe ich die Wahrscheinlichkeit 0,05 gewählt und erneut 51 Freiheitsgrade. Das ergibt mir einen kritischen t-Wert von 2,008. 

     

    Interpretation der Ergebnisse des Einstichproben t-Test in Excel

    Interpretation des p-Wertes (I. Möglichkeit)

    Der p-Wer von 0,00917 ist sehr klein und unter der typischen Verwerfungsgrenze von 0,05. Das bedeutet, ihr verwerft die Nullhypothese von Gleichheit der Mittelwerte. Der durchschnittliche IQ von 109,98 ist demzufolge statistisch signifikant unterschiedlich von den vermuteten 105. Das hätte man mit bloßem Auge auch erkennen können, allerdings beachtet dieser Test auch die Stichprobengröße. Es kann bei einer kleinen Stichprobe auch zufällig zu einem Unterschied kommen, was mit einer zunehmenden Stichprobengröße immer schwerer möglich ist.

     

    Interpretation des kritischen t-Wertes (II. Möglichkeit)

    Der kritische t-Wert ist 2,008 und kleiner als die t-Statistik von 2,709. Oder anders formuliert, die t-Statistik ist mit 2,709 über dem kritischen t-Wert von 2,008. Da der kritische t-Wert überschritten wurde, kann zum Fehlerniveau 5% (0,05) geschlossen werden, dass die Nullhypothese abgelehnt werden muss. Das bedeutet analog zur I. Möglichkeit, dass die Mittelwert von Stichprobe und Grundgesamtheit nicht gleich sind. Bei einem geringeren Fehlerniveau (z.B. 0,01) steigt der kritische t-Wert. Im Falle von 0,01 ist der zur Verwerfung der Nullhypothese zu übersteigende kritische t-Wert 2,68.

     

    Wie teste ich einseitig?

    Zu guter letzt noch der Hinweis, welche Formeln ihr in Excel für p-Wert und kritischen t-Wert verwenden müsst. Die Interpretation erfolgt analog zu oben.

    • p-Wert: =T.VERT.RE(t;df) bzw. ihr könnt den oben berechneten p-Wert direkt halbieren.
    • kritischer t-Wert: =T.INV(Wahrsch;df) bzw. da es ein linksseitiger Test ist, nehmt ihr den Absolutwert =ABS(T.INV(Wahrsch;df)).

     

    Beispieldaten

    Excel-Beispieldatei für den Einstichproben t-Test

    Weitere nützliche Tutorials findest du auf meinem YouTube-Kanal.

    • Man braucht lediglich eine metrisch skalierte Variable, die in etwa normalverteilt ist. Wie man eine Variable auf Normalverteilung prüft, zeigt dieser Artikel. Aus Vereinfachungsgründen zeige ich dies nicht und gehe schlicht von Normalverteilung aus.
    • Die Fälle sollten voneinander unabhängig sein.
    Dieses Video ansehen auf YouTube.

    Fragen können unter dem verlinkten Video gerne auf YouTube gestellt werden.

     

    Durchführung des Einstichproben t-Test in Excel – ein Beispiel

    Nullhypothese

    Die Nullhyopthese beim Einstichproben t-Test geht stets von Gleichheit der Mittelwerte von Stichprobe und Grundgesamtheit aus.

    Ihr könnt bei diesem Test einseitig und zweiseitig testen. Einseitig heißt lediglich, dass ihr eine konkrete Vermutung habt, dass der Stichprobenmittelwert kleiner oder größer ist als der Mittelwert der Grundgesamtheit. Standardmäßig wird allerdings zweiseitig getestet, das heißt ihr vermutet einen Unterschied, wisst aber nicht, ob der Mittelwert der Stichprobe größer oder kleiner als der Mittelwert der Grundgesamtheit ist.

     

    t-Statistik

    Die Berechnung der T-Statistik ist die Basis, die folgende Formel hat:

        \[ T = \sqrt{n}\frac{\overline{x}-\mu_0}{S} \]

    Wie man diese berechnet, zeige ich euch Schritt für Schritt. Ihr braucht dafür:

    • die Wurzel der Stichprobengröße ($\sqrt{n}$),
    • den Mittelwert der Stichprobe ($\overline{x}$),
    • den Mittelwert der Grundgesamtheit ($\mu_0$) und
    • die Standardabweichung der Stichprobe ($S$).

     

    Aufbau der Tabelle

    Zunächst braucht ihr hierfür eine leere Excel-Tabelle, die ihr folgendermaßen aufbaut: Die Variable, die ihr testen wollt, muss in einer Spalte für jeden Fall untereinander angeordnet sein. Hier seht ihr die Probandennummer in Spalte A und den Intelligenzquotient (IQ) in Spalte B. Der IQ soll getestet werden, ob er sich in der Stichprobe von der Grundgesamtheit unterscheidet.

     

    Bestandteile der t-Statistik

    Als nächstes braucht ihr folgende Bestandteile für die Berechnung der T-Statistik:

    • $n$ – Stichprobengröße. Ihr verwendet die =ANZAHL-Funktion über alle Zeilen, in den bei euch Probanden vorliegen. In meinem Beispiel ist dies Zeile 2-53 in Spalte B. Damit sieht meine Formel so aus: =ANZAHL(B2:B53) und ergibt 52.
    • $\sqrt{n}$ – Wurzel aus der Stichprobengröße. Ihr verwendet die =WURZEL-Funktion. In meinem Beispiel habe ich die Stichprobengröße in Feld E2 stehen, daher lautet meine Formel =WURZEL(E2) mit dem Ergebnis 7,21
    • $\overline{x}$ – Mittelwert der Stichprobe. Ihr verwendet die =MITTELWERT-Funktion über alle Zeilen. In meinem Beispiel =MITTELWERT(B2:B53) mit dem Ergebnis: 109,98.
    • $S$ – Standardabweichung der Stichprobe. Ihr verwendet die =STABW.S-Funktion über alle Zeilen. In meinem Beispiel =STABW.S(B2:B53) mit dem Ergebnis 13,26. Das S bei STABW.S steht für Stichprobe.
    • $\mu_0$ – Vermuteter Mittelwert bzw. Mittelwert der Grundgesamtheit. Der ist euch in der Regel gegeben bzw. auf den testet ihr. In meinem Beispiel ist er 105.

    Nun habt die wesentlichen Komponenten und könnt euch ans rechnen machen. 

        \[ T = \sqrt{n}\frac{\overline{x}-\mu_0}{S} \]

     

        \[ T = 7,21\frac{109,98-105}{13,26} =2,709\]

     

    In Excel empfehle ich euch folgende kleine Hilfstabelle, in der ihr separat Zähler, Nenner und T ermitteln könnt:

     

    Der Signifikanztest

    Schließlich ist nun zu prüfen, ob der Unterschied auf Basis der berechneten t-Statistik signifikant ist. Hierzu existieren zwei Möglichkeiten. Die erste nutzt den p-Wert und die zweite den kritischen t-Wert.

    I. Möglichkeit  – der p-Wert

    Den p-Wert berechnet ihr mit der Excel-Formel =T.VERT.2S(ABS(t);df). Was passiert hier? Es wird zweiseitig geprüft, ob sich euer errechneter t-Wert (t) von einem kritischen t-Wert unterscheidet. Ihr verwendet die ABS-Funktion, um den absoluten t-Wert zu erhalten. Ihr rechnet also mit einem stets positiven Wert in der T.VERT.2S-Funktion. Zuletzt braucht ihr den Wert df. Das sind eure Freiheitsgrade (degrees of freedom). Die ergeben sich bei diesem Test stets aus der Anzahl-1. Hier sind das also 52-1=51.

    Eure Formel ist also dann:

    =T.VERT.2S(ABS(2,709);51)=0,00917.

    Der erhaltene Wert von 0,00917 ist euer p-Wert.

     

    II. Möglichkeit – der kritische t-Wert

    Die t-Statistik könnt ihr über die Funktion =T.INV.2S(Wahrsch;df) berechnen. Die Wahrscheinlichkeit ist auch hier die Verwerfungsgrenze und kann 0,05 sein oder auch mit 0,01 noch strenger sein. Für was auch immer ihr euch entscheidet, diese setzt ihr bei Wahrsch ein. Die Freiheitsgrade (df) nehmt ihr analog die Anzahl-1. In meinem Fall habe ich die Wahrscheinlichkeit 0,05 gewählt und erneut 51 Freiheitsgrade. Das ergibt mir einen kritischen t-Wert von 2,008. 

     

    Interpretation der Ergebnisse des Einstichproben t-Test in Excel

    Interpretation des p-Wertes (I. Möglichkeit)

    Der p-Wer von 0,00917 ist sehr klein und unter der typischen Verwerfungsgrenze von 0,05. Das bedeutet, ihr verwerft die Nullhypothese von Gleichheit der Mittelwerte. Der durchschnittliche IQ von 109,98 ist demzufolge statistisch signifikant unterschiedlich von den vermuteten 105. Das hätte man mit bloßem Auge auch erkennen können, allerdings beachtet dieser Test auch die Stichprobengröße. Es kann bei einer kleinen Stichprobe auch zufällig zu einem Unterschied kommen, was mit einer zunehmenden Stichprobengröße immer schwerer möglich ist.

     

    Interpretation des kritischen t-Wertes (II. Möglichkeit)

    Der kritische t-Wert ist 2,008 und kleiner als die t-Statistik von 2,709. Oder anders formuliert, die t-Statistik ist mit 2,709 über dem kritischen t-Wert von 2,008. Da der kritische t-Wert überschritten wurde, kann zum Fehlerniveau 5% (0,05) geschlossen werden, dass die Nullhypothese abgelehnt werden muss. Das bedeutet analog zur I. Möglichkeit, dass die Mittelwert von Stichprobe und Grundgesamtheit nicht gleich sind. Bei einem geringeren Fehlerniveau (z.B. 0,01) steigt der kritische t-Wert. Im Falle von 0,01 ist der zur Verwerfung der Nullhypothese zu übersteigende kritische t-Wert 2,68.

     

    Wie teste ich einseitig?

    Zu guter letzt noch der Hinweis, welche Formeln ihr in Excel für p-Wert und kritischen t-Wert verwenden müsst. Die Interpretation erfolgt analog zu oben.

    • p-Wert: =T.VERT.RE(t;df) bzw. ihr könnt den oben berechneten p-Wert direkt halbieren.
    • kritischer t-Wert: =T.INV(Wahrsch;df) bzw. da es ein linksseitiger Test ist, nehmt ihr den Absolutwert =ABS(T.INV(Wahrsch;df)).

     

    Beispieldaten

    Excel-Beispieldatei für den Einstichproben t-Test

    Weitere nützliche Tutorials findest du auf meinem YouTube-Kanal.